أولاً : الوسط الحسابى .

ثانياً : الوسيط .

ثالثاً : المنوال .

رابعاً : العلاقة بين الوسط والوسيط والمنوال .

خامساً : تحديد التواء التوزيع من مقاييس النزعة المركزية.

مقاييس النزعة المركزية

إن الأسلوب البياني في تحليل ودراسة الظواهر لتحديد الخصائص والاتجاهات والعلاقات ، يعتمد في دقته على دقة التمثيل البياني نفسه وبذلك ربما تختلف الخصائص من رسم إلى آخر لنفس الظاهرة، وعليه فإنه من الأفضل اللجوء إلى طرق القياس الكمي، حيث يستخدم الباحث الطريقة الرياضية في القياس.

فالهدف الأساسي من استخدام مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت هو تلخيص البيانات في محاولة أخرى لوصفها عن طريق التعرف على مركزها ومقدار تشتت البيانات حول هذا المركز (درجة تجانس البيانات) ومن خلال هذين المؤشرين يتمكن الباحث من فهم أبعاد الظاهرة قيد الدراسة.

ومن أهم مقاييس النزعة المركزية التي سنتعرض إليها بالدراسة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال ، كما سنتعرض بالدراسة لحساب كل منهم من البيانات المفردة (الغير مبوبة) ومن البيانات المبوبة .

أولاً : الوسط الحسابى (المتوسط)

الوسط الحسابي لمجموعة من القيم هو القيمة التى لو أعطيت لكل مفردة فى المجموعة لكان مجموع قيم المفردات الجديدة مساوِ لمجموع قيم المتغيرات الأصلية .

ويعرف أيضا بأنه مجموع قيم المشاهدات مقسوماً على عددها ويرمز له بالرمز ( س^/ ) أو بالرمز ( م )

حساب الوسط الحسابى من البيانات الغير مبوبة ( المفردة )

يحسب المتوسط الحسابى من البيانات الغير مبوبة من العلاقة التالية:

مجـ س

س^/ = م = ـــــــ

حيث :-

س^/ = م = الوسط الحسابى

مجـ = مجموع

س = القيمة

ن = عدد الأفراد

مثال :-

احسب الوسط الحسابى لدرجات 8 طلاب في مادة الإحصاء والتي كان بياناتهم كالتالى :

2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 8 – 8 – 9

الحل :

2+3+5+6+7+8+8+9 48

س^/ = ــــــــــــــ = ــــ = 6 درجات

8 8

حساب الوسط الحسابى من البيانات المبوبة

توجد ثلاث طرق لحساب المتوسط الحسابى من البيانات المبوبة هى :

1- الوسط الحسابى بطريقة مراكز الفئات

مجـ ( س × ك )

س^/ = ــــــــــ

مجـ ك

حيث :-

س^/ = الوسط الحسابى

مجـ = مجموع

س = مركز الفئة = ( بداية الفئة + بداية الفئة التالية ) / 2

ك = التكرار

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسط الحسابى بطريقة مراكز الفئات .

فئات الدخل	100-	200-	300-	400-	500-	600-	700-800
عدد العمال	10	12	20	28	16	8	6

الحل :

نكون الجدول التالى :

ف	ك	س	س × ك
100-	10	150	1500
200-	12	250	3000
300-	20	350	7000
400-	28	450	12600
500-	16	550	8800
600-	8	650	5200
700-800	6	750	4500
مج	100	مج	42600

42600

س^/ = ــــــــــ = 426 جنيه

100

2- الوسط الحسابى بطريقة الانحرافات

مجـ ( ح × ك )

س^/ = أ + ــــــــــــ

مجـ ك

حيث :-

س^/ = الوسط الحسابى

مجـ = مجموع

ح = الانحراف = س - أ

ك = التكرار

أ = مركز الفئة التى يقابلها أكبر تكرار

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسط الحسابى بطريقة الانحرافات .

فئات الدخل	100-	200-	300-	400-	500-	600-	700-800
عدد العمال	10	12	20	28	16	8	6

الحل :

نكون الجدول التالى :

ف	ك	س	ح	ح × ك
100-	10	150	-300	-3000
200-	12	250	-200	-2400
300-	20	350	-100	-2000
400-	28	450	صفر	صفر
500-	16	550	100	1600
600-	8	650	200	1600
700-800	6	750	300	1800
مج	100	مج		-2400

-2400

س^/ = 450 + ــــــ = 450 – 24 = 426 جنيه

100

3- الوسط الحسابي بطريقة الانحرافات المختصرة

مجـ ( ح^/ × ك )

س^/ = أ + ــــــــــــــ × ل

مجـ ك

حيث :-

س^/ = الوسط الحسابى

مجـ = مجموع

ح^/ = الانحراف المختصر = ( س – أ ) / ل

ك = التكرار

أ = مركز الفئة التى يقابلها أكبر تكرار

ل = طول الفئة

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسط الحسابى بطريقة الانحرافات المختصرة .

فئات الدخل	100-	200-	300-	400-	500-	600-	700-800
عدد العمال	10	12	20	28	16	8	6

الحل :

نكون الجدول التالى :

ف	ك	س	ح^/	ح^/ × ك
100-	10	150	-3	-30
200-	12	250	-2	-24
300-	20	350	-1	-20
400-	28	450	صفر	صفر
500-	16	550	1	16
600-	8	650	2	16
700-800	6	750	3	18
مج	100	مج		-24

-24

س^/ = 450 + ــــــ × 100 = 450 – 24 = 426

100

س^/ = 426 جنيه .
ثانياً : الوسيط

يعرف الوسيط على أنه القيمة التى تتوسط مجموعة من القيم إذا رتبت ترتيباً تصاعدياً أو تنازلياً .

حساب الوسيط من البيانات الغير مبوبة ( المفردة )

يعتمد حساب الوسيط من البيانات الغير مبوبة على عدد تلك البيانات فهناك حالتان هما :

(1) إذا كان عدد المفردات فردى ( ن فردية )

يوجد رقم واحد يمثل الوسيط ويحسب ترتيبه من العلاقة:

( ن+1) / 2

مثال :

احسب الوسيط من البيانات التالية

20 – 12 – 15 – 10 – 40 – 80 – 61

الحل :

نرتب تصاعدي أولاً :

نحسب ترتيب الوسيط = ( 7 + 1 ) / 2 = 4 ، ترتيب الوسيط هو الرابع .

الوسيط = 20 .

(2) إذا كان عدد المفردات زوجى ( ن زوجيه )

يوجد رقمين يمثلان الوسيط ويحسب عن طريق إيجاد الوسط الحسابى لهما ويحسب ترتيبه من العلاقة :

} ن / 2 ، ن / 2 + 1 {

مثال :

احسب الوسيط من البيانات التالية :

15 – 12 – 15 – 14 – 18 – 20 – 33 - 40

الحل :

نرتب تصاعدي أولاً :

نحسب ترتيب الوسيط = (8/2 ، 8/2 + 1) = ( 4 ، 5 ) ، ترتيب الوسيط الرابع والخامس وقيمة الوسيط متوسط القيمتين اللتان ترتيبهما الرابع والخامس .

الوسيط = ( 15 + 18 ) / 2 = 16.5 .
حساب الوسيط من البيانات المبوبة

يوجد خمس طرق لحساب الوسيط من البيانات المبوبة هى :

1- الوسيط باستخدام الجدول التكرارى المتجمع الصاعد

ترتيب الوسيط – ك م ص السابق

الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية + ــــــــــــــــــ × ل ك م ص اللاحق – ك م ص السابق

حيث :-

ترتيب الوسيط = مجـ ك / 2

ك م ص السابق = التكرار المتجمع الصاعد السابق للفئة الوسيطية

ك م ص اللاحق = التكرار المتجمع الصاعد اللاحق للفئة الوسيطية

ل = طول الفئة .

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسيط باستخدام جدول التكرار المتجمع الصاعد .

فئات الدخل	20-	30-	40-	50-	60-70
عدد العمال	20	40	100	30	10

الحل :

نكون الجدول التالى :

	ف	ك	الحدود الدنيا للفئات	ك م ص
	20-	20	أقل من 20	صفر
	30-	40	أقل من 30	20
الحد الأدنى	40-	100	أقل من 40	60	ك م ص السابق
الحد الأعلى	50-	30	أقل من 50	160	ك م ص اللاحق
	60-70	10	أقل من 60	190
	مج	200	أقل من 70	200

ثم نحسب ترتيب الوسيط = 200/2 = 100

ثم نبحث داخل عمود ( ك م ص ) عن القيمتين التى ينحصر بينهما ترتيب الوسيط فنجد أن قيمة ترتيب الوسيط = 100 محصورة بين ( 60 – 160 ) .

100 – 60 400

الوسيط = 40 + ـــــــ × 10 = 40 + ــــ = 40 + 4 = 44

160 – 60 100

2- الوسيط باستخدام الجدول التكرارى المتجمع الهابط

ترتيب الوسيط – ك م هـ اللاحق

الوسيط = الحد الأعلى للفئة الوسيطية - ــــــــــــــــــ × ل ك م هـ السابق – ك م هـ اللاحق

حيث :-

ترتيب الوسيط = مجـ ك / 2

ك م هـ السابق = التكرار المتجمع الهابط السابق للفئة الوسيطية

ك م هـ اللاحق = التكرار المتجمع الهابط اللاحق للفئة الوسيطية

ل = طول الفئة .

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسيط باستخدام جدول التكرار المتجمع الهابط .

فئات الدخل	20-	30-	40-	50-	60-70
عدد العمال	20	40	100	30	10

الحل :

نكون الجدول التالى :

	ف	ك	الحدود العليا للفئات	ك م ص
	20-	20	20 فأكثر	200
	30-	40	30 فأكثر	180
الحد الأدنى	40-	100	40 فأكثر	140	ك م هـ السابق
الحد الأعلى	50-	30	50 فأكثر	40	ك م هـ اللاحق
	60-70	10	60 فأكثر	10
	مج	200	70 فأكثر	صفر

ثم نحسب ترتيب الوسيط = 200/2 = 100

ثم نبحث داخل عمود ( ك م هـ ) عن القيمتين التى ينحصر بينهما ترتيب الوسيط فنجد أن 100 محصورة بين (40 – 140)

100 – 40 600

الوسيط = 50 - ـــــــ × 10 = 50 - ــــ = 50 - 6 = 44

140 – 40 100

3- الوسيط بالرسم من الجدول التكراري المتجمع الصاعد

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسيط بالرسم من جدول التكرار المتجمع الصاعد .

فئات الدخل	20-	30-	40-	50-	60-70
عدد العمال	20	40	100	30	10

الحل :

نكون الجدول التالى :

الحدود الدنيا للفئات	ك م ص
أقل من 20	صفر
أقل من 30	20
أقل من 40	60
أقل من 50	160
أقل من 60	190
أقل من 70	200

ثم نرسم حدود الفئات على محور السينات والتكرار المتجمع الصاعد على محور الصادات ونقوم بتوقيع جميع النقاط ونوصل بينها بخط منحنى باليد كما بالشكل .

70 60 50 40 30 20

ثم نحسب ترتيب الوسيط = مجـ ك / 2 = 200/2 = 100 ونوقع هذه النقطة على محور الصادات ونرسم منها خط مستقيم ليقطع المنحنى في نقطة نقوم بإسقاط عمود من نقطة التقاطع ليصل إلى محور السينات لنحصل على قيمة الوسيط عندها .

الوسيط = 44 .

4- الوسيط بالرسم من الجدول التكراري المتجمع الهابط

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسيط بالرسم من جدول التكرار المتجمع الهابط .

فئات الدخل	20-	30-	40-	50-	60-70
عدد العمال	20	40	100	30	10

الحل :

نكون الجدول التالى :

الحدود العليا للفئات	ك م هـ
20 فأكثر	200
30 فأكثر	180
40 فأكثر	140
50 فأكثر	40
60 فأكثر	10
70 فأكثر	صفر

70 60 50 40 30 20

الوسيط = 44 .

5- الوسيط بالرسم من الجدول التكراري المتجمع الصاعد والهابط معاً

مثال :

الجدول التالى يوضح العلاقة بين فئات الدخل بأحد المصانع وعدد العمال والمطلوب من واقع بيانات الجدول حساب الوسيط بالرسم من جدول التكرار المتجمع الصاعد والهابط معاً .

فئات الدخل	20-	30-	40-	50-	60-70
عدد العمال	20	40	100	30	10

الحل :

نكون الجدولين الصاعد والهابط معاً :

الحدود الدنيا للفئات	ك م ص	الحدود العليا للفئات	ك م هـ
أقل من 20	صفر	20 فأكثر	200
أقل من 30	20	30 فأكثر	180
أقل من 40	60	40 فأكثر	140
أقل من 50	160	50 فأكثر	40
أقل من 60	190	60 فأكثر	10
أقل من 70	200	70 فأكثر	صفر

بعد رسم المنحنيين الصاعد والهابط يتقاطعا فى نقطة هذه النقطة لو قمنا بإسقاط عمود منها رأسياً على محور السينات نحصل على قيمة الوسيط = 44 .

ولو قمنا برسم خط مستقيم أفقي من نقطة التقاطع ليقطع محور الصادات نحصل على قيمة ترتيب الوسيط = 100 .

ثالثاً : المنوال :

المنوال هو القيمة الأكثر شيوعاً أو تكراراً .

حساب المنوال من البيانات الغير مبوبة

في حالة تكرار رقم واحد يتم اختياره كمنوال أما فى حالة تكرار رقمين بنفس عدد مرات التكرار يتم اختيارهما معاً كمنوال أما إذا زاد أحدهما عن الآخر يتم اختيار ذو التكرار الأكبر وفى حالة عدم تكرار أي رقم يكون المنوال قيمته لاشيء أو لا يوجد منوال .

مثال : احسب المنوال في كل من الحالات التالية :-

7 – 8 – 9 – 8 – 10 – 8 - 12 المنوال = 8

10- 12 – 10 – 15 – 12 – 10 المنوال = 10

15 – 16 – 15 – 20 - 16 – 30 المنوال = 15 ، 16

20 – 30 – 40 – 140 – 50 -60 المنوال = لا يوجد

حساب المنوال من البيانات المبوبة

يوجد أربعة طرق لحساب المنوال من البيانات المبوبة طريقتان جبريتان وطريقتان بيانيتان وسنتناولهما بالشرح فيما يلى .

أولاً - المنوال بطريقة الفروق لبيرسون .

ف₁

المنوال = أ + ــــــــ × ل

ف₁ + ف₂

حيث:

أ = الحد ألدنة للفئة المنوالية والمقصود بدايتها .

ف₁ = ك – ك1

ف₂ = ك – ك2

ك = تكرار الفئة المنوالية

ك1 = تكرار الفئة التى تسبق الفئة المنوالية

ك2 = تكرار الفئة التى تلى الفئة المنوالية

ل = طول الفئة

مثال :

أوجد المنوال بطريقة بيرسون من الجدول التالى :

فئات الدخل	10-	20-	30-	40-	50-	60-	70-80
عدد العمال	5	12	22	38	22	12	5

الحل :

	ف	ك
	10-	5
	20-	12
	30-	22	ك1
أ	40-	38	ك
	50-	22	ك2
	60-	12
	70-80	5

ثم نحدد الفئة المنوالية من خلال أكبر رقم فى عمود التكرار ثم نحدد الحد الأدنى لهذه الفئة وهو بدايتها وهو أ = 40 ، ثم نحــدد ( ك ، ك1 ، ك2).

نحسب ف₁ = ك – ك1 = 38 – 22 = 16

نحسب ف₂ = ك – ك2 = 38 – 22 = 16

نحسب ل = 10

ثم نعوض فى القانون :

المنوال = 40 + ــــــــ × 10

16 + 16

المنوال = 40 + 5 = 45

ثانياً - المنوال بيانيا باستخدام طريقة الفروق لبيرسون .

مثال :

أوجد المنوال بيانياً باستخدام طريقة الفروق لبيرسون من الجدول التالى :

فئات الدخل	10-	20-	30-	40-	50-	60-	70-80
عدد العمال	5	12	22	38	22	12	5

الحل :

نرسم الجدول السابق بالشكل التالى ثم نبحث عن أطول عمود ونوصل حافتيه بحافتي العمود السابق والتالي فنحصل على تقاطع هو المنوال .

المنوال = 45

80 70 60 50 40 30 20 10

ثالثاً : المنوال باستخدام طريقة الرافعة كينج .

ك1

المنوال = أ + ــــــــ × ل

ك1 + ك2

حيث:

أ = الحد ألدنة للفئة المنوالية والمقصود بدايتها .

ك1 = تكرار الفئة التى تسبق الفئة المنوالية

ك2 = تكرار الفئة التى تلى الفئة المنوالية

ل = طول الفئة

مثال :

أوجد المنوال بطريقة الرافعة كينج من الجدول التالى :

فئات الدخل	10-	20-	30-	40-	50-	60-	70-80
عدد العمال	5	12	22	38	22	12	5

الحل :

	ف	ك
	10-	5
	20-	12
	30-	22	ك1
أ	40-	38
	50-	22	ك2
	60-	12
	70-80	5

ثم نحدد الفئة المنوالية من خلال أكبر رقم فى عمود التكرار ثم نحدد الحد الأدنى لهذه الفئة وهو بدايتها وهو أ = 40 ، ثم نحــدد (ك1 ، ك2) .

ك1 = 22

ك2 = 22

نحسب ل = 10

ثم نعوض فى القانون :

المنوال = 40 + ــــــــ × 10

22 + 22

المنوال = 40 + 5 = 45

رابعاً - المنوال بيانيا باستخدام طريقة الرافعة كينج .

مثال :

أوجد المنوال بيانياً باستخدام طريقة الرافعة كينج من الجدول التالى:

فئات الدخل	10-	20-	30-	40-	50-	60-	70-80
عدد العمال	5	12	22	38	22	12	5

الحل :

نرسم الجدول السابق بالشكل التالى ثم نبحث عن أطول عمود ونصل حافتيه بحافتي العمود السابق والتالي فنحصل على تقاطع هو المنوال .

المنوال = 45

80 70 60 50 40 30 20 10

العلاقة بين الوسط والوسيط والمنوال

المنوال = 3 × الوسيط – 2 × الوسط

مثال :

إذا علمت أن قيمة الوسط = 5 وقيمة الوسيط = 10 احسب قيمة المنوال .

الحل :

المنوال = 3 × الوسيط – 2 × الوسط

المنوال = 3 × 10 – 2 × 5

المنوال = 30 – 10 = 20

تحديد التواء التوزيع مباشرة من مقاييس النزعة المركزية :

1- المنحنى معتدل التوزيع :

عندما يكون :

الوسط = الوسيط = المنوال

2- المنحنى ملتوى التواء موجب :

عندما يكون :

الوسط < الوسيط < المنوال

3- المنحنى ملتوى التواء سالب :

عندما يكون :

الوسط > الوسيط > المنوال

مثال

إذا علمت أن قيمة الوسط = 5 وقيمة الوسيط = 10 احسب قيمة المنوال ، ثم حدد نوع التواء التوزيع .

الحل :

المنوال = 3 × الوسيط – 2 × الوسط

المنوال = 3 × 10 – 2 × 5

المنوال = 30 – 10 = 20

نلاحظ أن

الوسط > الوسيط > المنوال

التوزيع ملتوي التواء سالب .

تمارين

1- احسب الوسط الحسابى والوسيط للدرجات الخام التالية :

5 ـ 3 ـ 2 ـ 8 ـ 17 ـ 4 ـ 10

من قيمة الوسط والوسيط احسب قيمة المنوال ثم حدد التواء التوزيع .

2- أوجد الوسط الحسابى والوسيط فى كل حالة من الحالات التالية ومنها أوجد قيمة المنوال ثم حدد التواء التوزيع .

· 7 - 12 - 9 - 11 - 8

· 105 - 107 - 104 - 103 – 102 - 111

· 22 - 23 24 - 20 - 9 - 18 - 35 - 3 - 39 - 36

3- احسب الوسيط والمنوال لكل حالة من الحالات التالية:

· 5 ـ 8 ـ 2 ـ 4 ـ 9 ـ 10 ـ 6

· 6 ـ 9 ـ 7 ـ 10 ـ 4 ـ 5 ـ 8

· 10 – 12 – 10 – 15 – 12 – 15 – 15 – 20

· 20 – 25 – 30 – 20 – 40 – 60 – 70

· 13 – 15 – 18 – 12 – 10 – 18 – 15 – 18

4- الجدول التالى يمثل فئات الأجر الأسبوعى لعمال مصنع .

الأجر الأسبوعى	2-	4-	6-	8-	10-12
عدد العمال	10	40	70	50	30

والمطلوب :

- احسب الوسط الحسابي بطريقة مراكز الفئات

- احسب الوسط الحسابي بطريقة الانحرافات

- احسب الوسط الحسابي بطريقة الانحرافات المختصرة

- احسب الوسيط باستخدام جدول التكرار المتجمع الصاعد

- احسب الوسيط باستخدام جدول التكرار المتجمع الهابط

- احسب الوسيط بيانياً باستخدام منحنى التكرار المتجمع الصاعد

- احسب الوسيط بيانياً باستخدام منحنى التكرار المتجمع الهابط

- احسب الوسيط بيانياً باستخدام منحنى التكرار المتجمع الصاعد والهابط

- المنوال بطريقة بيرسون

- المنوال بيانياً بطريقة بيرسون

- المنوال بطريقة الرافعة كينج

- المنوال بيانياً بطريقة الرافعة كينج

الصفحات

الخميس، 30 يناير 2014

الفصل الخامس : مقاييس النزعة المركزية

4- الجدول التالى يمثل فئات الأجر الأسبوعى لعمال مصنع .

الفهرس الالكتروني مروان أحمد طاهات