أولاً
: المدى .
ثانياً
: التباين والانحراف المعيارى .
ثالثاً
: الانحراف المتوسط .
رابعاً
: الالتواء وتحديد اعتدالية التوزيع .
مقاييس التشتت
لا تعتبر مقاييس التمركز كافية لوصف مجموعة من البيانات وصفاً كاملاً
فقد تتساوى بعض العينات في الوسط الحسابي بالرغم من اختلاف توزيع بياناتها حول
مركزها (درجة تجانس البيانات). فالعينات التالية ذات وسط حسابي واحد (8) ولكنها
بلا شك تختلف عن بعضها.
|
عينة 1
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
|
عينة 2
|
4
|
3
|
6
|
16
|
11
|
فالوسط الحسابي يمثل مركز البيانات لكنه لا يبين مدى التفاف أو بعثرة
البيانات حول هذا الوسط ، ولهذا لا بد من وجود مقياس آخر مع المقاييس المركزية
لقياس درجة التجانس أو التشتت في داخل هذه البيانات.
إن الدرجة التي تتجه بها البيانات الرقمية للانتشار حول قيمة وسطى
تسمى تشتت أو توزيع البيانات .
ومن أهم مقاييس التشتت المدى والتباين
والانحراف المعيارى والانحراف المتوسط .
أولاً : المدى
المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة .
حساب المدى من البيانات الغير مبوبة
المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة
مثال :
احسب المدى للبيانات التالية :
95 – 200 – 250 – 300
– 110 – 90 – 150 – 100 – 350 – 80
الحل :
نرتب
القيم أولاً : ( 80-90-95-100-110-150-200-250-300-350 )
المدى = 350 – 80 = 270
حساب المدى من البيانات المبوبة
المدى = الحد الأعلى للفئة الأخيرة – الحد
الأدنى للفئة الأولى
مثال:
احسب المدى للجدول التالى :
|
الفئات
|
16-
|
20-
|
24-
|
28-
|
32-36
|
|
عدد المبحوثين
|
10
|
15
|
40
|
20
|
15
|
الحل :
المدى = الحد الأعلى للفئة الأخيرة – الحد
الأدنى للفئة الأولى
المدى = 36 – 16 = 20
ثانياً : التباين والانحراف المعيارى
يرمز
للتباين بالرمز ع2
بينما
يرمز للانحراف المعيارى بالرمز ع
أي
أنه إذا تم حساب أحدهما فيمكن حساب الآخر لأن الانحراف المعيارى هو جذر التباين .
التباين من البيانات الغير مبوبة
هناك
طريقتان لحساب التباين من البيانات الغير مبوبة:
الأولى : باستخدام القانون العام من الدرجات الخام كالتالي
مجـ س2 مجـ س 2
ع2
= ــــــــ - ــــــ
ن ن
مثال :
احسب التباين والانحراف المعيارى للقيم التالية ومنه
احسب الانحراف المعيارى لكل من المتغيرين س ، ص على حده .
|
س
|
23
|
21
|
19
|
19
|
18
|
|
ص
|
19
|
19
|
18
|
14
|
15
|
الحل :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
س2
|
ص
|
ص2
|
|
23
|
529
|
19
|
361
|
|
21
|
441
|
19
|
361
|
|
19
|
361
|
18
|
324
|
|
19
|
361
|
14
|
196
|
|
18
|
314
|
15
|
225
|
|
100
|
2016
|
85
|
1467
|
ثم نعوض فى القانون العام لحساب التباين :
بالنسبة للمتغير (س)
مجـ س2 مجـ س 2
ع2
س = ــــــــ - ـــــــ
ن ن
 |
|||
 |
|||
2016 100
2
ع2
س = ــــــــ - ــــــ = 3.2
5 5
وبالتالي فان قيمة تباين المتغير س = ع2= 3.2
ومنها فان قيمة الانحراف المعيارى = جذر التباين
ع = 3.2 = 1.78
بالنسبة للمتغير (ص)
مجـ ص2 مجـ
ص 2
ع2
ص = ــــــــ - ـــــــ
ن ن
|
1467 85 2
ع2
ص = ــــــــ - ــــــ
= 4.4
5 5
وبالتالي فان قيمة تباين المتغير ص = ع2= 4.4
ومنها فان قيمة الانحراف المعيارى = جذر التباين
ع = 4.4 = 2.1
الثانية : باستخدام الطريقة المختصرة "طريقة
الانحرافات"
مجـ ح2
ع2
= ــــــــ
ن
حيث ح هو الانحراف = س – م س
مثال :
احسب الانحراف المعيارى للقيم التالية :
|
35
|
17
|
22
|
32
|
19
|
48
|
13
|
19
|
20
|
الحل :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
حس
|
ح2س
|
|
35
|
10
|
100
|
|
17
|
-8
|
64
|
|
22
|
-3
|
9
|
|
32
|
7
|
49
|
|
19
|
-6
|
36
|
|
48
|
23
|
529
|
|
13
|
-12
|
144
|
|
19
|
-6
|
36
|
|
20
|
-5
|
25
|
|
225
|
-
|
992
|
حساب المتوسط :
مجـ س 225
مس
= ــــــ = ــــــ = 25
ن1 9
بعد حساب مس نحسب عمود ح ومنه نحسب ح2
ثم نعوض فى القانون :
مجـ ح2
ع2
= ــــــــ
ن
992
ع2
= ــــــ = 110.22
9
 |
ومنه
نحسب ع = 110.22 = 10.5 .
التباين والانحراف
المعيارى من البيانات المبوبة :
يحسب التباين من
البيانات المبوبة من العلاقة التالية :
 |
|||
 |
|||
مجـ ( ح2 × ك )
مجـ (ح×ك) 2
ع2
= ل2 × ــــــــــ - ــــــــ
مجـ ك
مجـ ك
حيث :
ع2 = التباين
ل = طول الفئة
ح = الانحراف ويحسب عن طريق وضع صفر فى عموده أمام الفئة
التى يقابلها أكبر تكرار ثم نضع من أسفل (1 ، 2 ، 3 ، وهكذا ) ومن أعلى نضع (-1 ،
-2 ، -3 ، وهكذا )
مثال :
احسب الانحراف المعيارى من الجدول التالى :
|
فئات
الدخل
|
10-
|
20-
|
30-
|
40-
|
50-
|
60-
|
70-80
|
|
عدد
العمال
|
5
|
12
|
22
|
38
|
22
|
12
|
5
|
الحل :
نكون الجدول التالى :
|
ف
|
ك
|
ح
|
ح × ك
|
ح2 × ك
|
|
10-
|
5
|
-3
|
-15
|
225
|
|
20-
|
12
|
-2
|
-24
|
576
|
|
30-
|
22
|
-1
|
-22
|
484
|
|
40-
|
38
|
0
|
0
|
0
|
|
50-
|
22
|
1
|
22
|
484
|
|
60-
|
12
|
2
|
24
|
576
|
|
70-80
|
5
|
3
|
15
|
225
|
|
مج
|
116
|
-
|
صفر
|
2570
|
ثم نعوض فى القانون :
مجـ ( ح2 × ك )
مجـ (ح×ك) 2
ع2
= ل2 × ــــــــــــ - ــــــــ
مجـ ك
مجـ ك
2570 0 2
ع2
= (10)2 × ــــــ -
ــــ
116 116
ع2 = 2215.5
= 2215.5 = 47.1
ثالثاً : الانحراف المتوسط
الانحراف المتوسط من البيانات الغير مبوبة ( المفردة)
مجـ | س – س/
|
الانحراف المتوسط = ــــــــــــ
ن
حيث :
س = القيمة
س/ = متوسط القيم
ن = عدد القيم
مثال :
لمجموعة البيانات التالية احسب الانحراف المتوسط:-
2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 8 – 8 – 9
الحل :
نحسب س/ = ( 2+3+5+6+7+8+8+9) / 8 =
48/8 = 6
نكون الجدول التالى :
|
س
|
| س – س/
|
|
|
2
|
4
|
|
3
|
3
|
|
5
|
1
|
|
6
|
0
|
|
7
|
1
|
|
8
|
2
|
|
8
|
2
|
|
9
|
3
|
|
مج
|
16
|
16
الانحراف المتوسط = ـــــــ
= 2
8
الانحراف المتوسط من البيانات المبوبة
مجـ ( | س – س/
| × ك )
الانحراف المتوسط = ـــــــــــــــــ
مجـ ك
مثال :
من بيانات الجدول التالى احسب الانحراف المتوسط :-
|
الفئات
|
16-
|
20-
|
24-
|
28-
|
32-36
|
|
عدد المبحوثين
|
10
|
15
|
40
|
20
|
15
|
الحل :
نكون الجدول التالى
:
|
ف
|
ك
|
س
|
ح/
|
ح/ × ك
|
| س – س/
|
|
| س – س/
| × ك
|
|
16-
|
10
|
18
|
-2
|
-20
|
8.6
|
86
|
|
20-
|
15
|
22
|
-1
|
-15
|
4.6
|
69
|
|
24-
|
40
|
26
|
0
|
0
|
0.6
|
24
|
|
28-
|
20
|
30
|
1
|
20
|
3.4
|
68
|
|
32-36
|
15
|
34
|
2
|
30
|
7.4
|
111
|
|
مج
|
100
|
مج
|
|
15
|
مج
|
358
|
15
س/
= 26 + ـــــ
× 4 = 26 + 0.6 = 26.6
100
358
الانحراف المتوسط
= ــــــــ = 3.58
100
الالتواء وتحديد اعتدالية التوزيع
3 (م – و)
الالتواء = ـــــــــ
ع
حيث :
م : المتوسط
و : الوسيط
ع : الانحراف المعيارى .
مثال :
حدد نوع التوزيع التالى :
20 – 50 – 60
– 40 - 10
الحل :
حساب المتوسط :
مجـ س 20+50+60+40+10
م =
ــــــ = ــــــــــــــ = 36
ن 5
حساب الوسيط :
نرتب القيم تصاعدياً :
|
10
|
20
|
40
|
50
|
60
|
الوسيط = 40
حساب الانحراف المعيارى :
 |
مجـ ح2
ع
= ــــــــ
ن
نكون الجدول التالى :
|
س
|
ح
|
ح2
|
|
20
|
-16
|
256
|
|
50
|
14
|
196
|
|
60
|
24
|
576
|
|
40
|
4
|
16
|
|
10
|
-26
|
676
|
|
مج
|
0
|
1720
|
 |
|||
 |
|||
مجـ ح2 1720
ع
= ــــــــ
= ـــــ = 18.54
ن 5
3
(م – و) 3 (36 – 40)
الالتواء
= ـــــــــ = ـــــــــ
= -0.64
ع 18.54
الالتواء قيمته سالبة فيكون التواء التوزيع سالب
.
