أولاً : الارتباط ومعناه .
ثانياً : أنواع الارتباط .
ثالثاً : معامل الاقتران .
رابعاً : معامل فاى .
خامساً : معامل التوافق .
سادساً : معامل ارتباط بيرسون .
سابعاً : معامل ارتباط الرتب لسبيرمان .
ثامناً : معنى الانحدار .
تاسعاً : معادلة خط انحدار ص/س .
عاشراً : معادلة خط انحدار س/ص .
الارتباط
ومعناه :
تركز عدد من البحوث
الاجتماعية على تحليل العلاقة بين أكثر من متغير حيث يهتم الباحث بتحديد كيف وإلى
أي مدى يرتبط متغيرات أو أكثر، والإحصاءات المستخدمة في التحليلات ثنائية المتغير،
فالمنطق متشابه إلى حد كبير وإن كانت الإحصاءات المستخدمة في دراسة العلاقات
متعددة المتغير تتسم بدرجة كبيرة من التعقيد.
وعند تحليل العلاقة
بين متغيرين يهتم الباحث بالإجابة عن ثلاثة تساؤلات هل ترتبط هذه المتغيرات ؟ وما
هو اتجاه وشكل الارتباط الموجود ؟ هل هناك احتمال أن يكون الارتباط الذي تمت
ملاحظته بين حالات العينة أحد خصائص المجتمع البحثي أم أن هذا الارتباط هو نتاج لصغر
حجم العينة التي قد تكون غير ممثلة للمجتمع البحثي ؟
يمكن تحديد الارتباط
بين متغيرين من خلال استخدام مجموعة من الإحصاءات تعرف باسم معاملات الارتباط
ومعامل الارتباط هو رقم يلخص التحسن في تخمين القيم على متغير واحد لأي حالة على
أساس معرفة قيم المتغير الثاني، فكلما ارتفع المعامل قوي الارتباط ، ومن ثم تحسنت
قردتنا التنبؤية أو التفسيرية. وتتراوح معاملات الارتباط بين صفر وواحد( أو -1)،
وتشير القيم التي تقترب من 1 إلى وجود ارتباط قوي نسبياً أما تلك التي تقترب من
صفر فتشير إلى ارتباط ضعيف نسبياً. ويتطلب كل مستوى قياس أنواع مختلفة من الحسابات
وبالتالي فلكل من هذه المستويات اختبارات ارتباط مختلفة.
إضافة إلى حجم الارتباط
يهتم الباحث بمعرفة اتجاه العلاقة بين المتغيرين فهل هي علاقة طردية أو عكسية،
وتجدر الإشارة هنا إلى أن مفهوم الاتجاه ليس له معنى على مستوى القياس الأسمى، حيث
إن الأرقام على هذا المستوى من القياس مجرد عناوين للفئات، وبالتالي لا تتغير
إشارات معاملات الارتباط الاسمية فكلها موجبة وتشير إلى مدى قوة الارتباط ، أما
على مستوى قياس الفترة فإن الإشارات تتغير ولها دلالات هندسية على درجة عالية
نسبياً من التعقيد.
وأخيراً يهتم
الباحث باختبارات الدلالة الإحصائية وهي الاختبارات التي توضح احتمال أن تكون
العلاقات التي يلاحظها الباحث نتاج التحيز في عملية الاختبار بدلاً من أن تعكس
علاقات موجودة فعلاً في مجمع البحث.
أنواع
الارتباط :
بالطبع عرفنا أن
قيمة معامل الارتباط محصورة فى الفترة المغلقة ]-1
، 1 [
وتتحدد نوعية الارتباط من الجدول التالى :
|
قيمة معامل الارتباط
|
نوع الارتباط
|
|
+1
|
ارتباط طردى تام
|
|
من 0.7 إلى أقل من +1
|
ارتباط طردى قوى
|
|
من 0.4 إلى أقل من 0.7
|
ارتباط طردى متوسط
|
|
من صفر إلى أقل من 0.4
|
ارتباط طردى ضعيف
|
|
صفر
|
الارتباط منعدم
|
|
-1
|
ارتباط عكسي تام
|
|
من -0.7 إلى أقل من -1
|
ارتباط عكسى قوى
|
|
من -0.04 إلى أقل من -0.7
|
ارتباط عكسى متوسط
|
|
من صفر إلى أقل من -.04
|
ارتباط عكسى ضعيف
|
طرق حساب الارتباط :
1- معامل الاقتران :
يستخدم معامل الاقتران لحساب قيمة معامل الارتباط عندما يكون المتغيران
المراد قياس الارتباط بينهم صفات والجدول المزدوج الذي يمثل العلاقة بينهم مكون من
(4) خلايا فقط دون خلايا المجموع نستخدم القانون التالى لمعامل الاقتران :
أ×د – ب×جـ
معامل الاقتران = ــــــــــ
أ×د + ب×جـ
حيث أ ، ب ، جـ ، د هم الخلايا الأربع للجدول رباعى
الخلايا كما بالشكل :
|
أ
|
ب
|
|
جـ
|
د
|
مثال :
قام أحد الباحثين بعمل بحث عن نسب المدخنيين من النوعين
الذكور والإناث فحصل على بيانات الجدول التالى :
|
النوع
|
ذكور
|
إناث
|
مج
|
|
التدخين
|
|||
|
يدخن
|
25
|
15
|
40
|
|
لا يدخن
|
5
|
55
|
60
|
|
مج
|
30
|
70
|
100
|
والمطلوب حساب قيمة معامل الارتباط بالطريقة المناسبة مع
بيان نوع هذا الارتباط ؟
الحل :
الجدول مكون من أربعة خلايا فقط والمتغيران صفات لذا
نستخدم معامل الاقتران :
أ×د – ب×جـ
معامل الاقتران = ــــــــــ
أ×د + ب×جـ
25×55 – 15×5 1300
معامل الاقتران = ـــــــــــ
= ــــــ
25×55 + 15×5 1450
معامل الاقتران = 0.89
تحديد نوع الارتباط :
ارتباط طردى قوى .
2- معامل فاى :
يستخدم معامل فاى لحساب قيمة معامل الارتباط عندما يكون المتغيران المراد
قياس الارتباط بينهم صفات أيضاً والجدول المزدوج الذي يمثل العلاقة بينهم مكون من
(4) خلايا فقط دون خلايا المجموع نستخدم القانون التالى لحساب لمعامل فاى :
أ × د – ب × جـ
معامل فاى =
ــــــــــــــ
هـ × و × ز
× ح
حيث أ ، ب ، جـ ، د ، هـ ، و ، ز ، ح
هم خلايا الجدول الرباعى الخلايا كما بالشكل التالى :
|
النوع
|
ذكور
|
إناث
|
المجموع
|
|
الفكرة
|
|||
|
مؤيد
|
أ
|
ب
|
ح
|
|
معارض
|
جـ
|
د
|
ز
|
|
المجموع
|
هـ
|
و
|
ن
|
والسؤال الآن : متى يستخدم معامل الاقتران ومتى يستخدم
معامل فاى رغم تشابههما فى الشروط ؟
يستخدم معامل فاى إذا كنا نريد استخدام جميع خلايا
الجدول أو إذا كنا نريد الحصول على القيمة الأقل لمعامل الارتباط أو الأدق أما
بخلاف ذلك نستخدم معمل الاقتران .
مثال :
قام أحد الباحثين بعمل بحث عن نسب المدخنين من النوعين
الذكور والإناث فحصل على بيانات الجدول التالى :
|
النوع
|
ذكور
|
إناث
|
مج
|
|
التدخين
|
|||
|
يدخن
|
25
|
15
|
40
|
|
لا يدخن
|
5
|
55
|
60
|
|
مج
|
30
|
70
|
100
|
والمطلوب حساب قيمة معامل الارتباط بالطريقة المناسبة
للحصول على القيمة الأقل والأدق لمعامل الارتباط مع بيان نوع هذا الارتباط ؟
الحل :
الجدول مكون من أربعة خلايا فقط والمتغيران صفات
والمطلوب الحصول على القيمة الأقل والأدق لمعامل الارتباط لذا نستخدم معامل فاى :
أ × د – ب × جـ
معامل فاى =
ــــــــــــــ
هـ × و × ز
× ح
25 × 55 – 15 × 5
معامل فاى =
ــــــــــــــ
30 × 70 × 60 × 40
1300
معامل فاى = ــــــ
2245
معامل فاى = 0.58
تحديد نوع الارتباط :
ارتباط طردي متوسط .
التعليق :
نلاحظ أن قيمة معامل الاقتران أكبر من قيمة معامل فاى
لحساب قيمة الارتباط لنفس المثال حيث أن معامل فاى أدق من معامل الاقتران لأنه
يستخدم جميع خلايا الجدول .
3- معامل التوافق :
يستخدم معامل التوافق لحساب قيمة معامل الارتباط عندما يكون المتغيران
المراد قياس الارتباط بينهم صفات أيضاً والجدول المزدوج الذي يمثل العلاقة بينهم
يزيد عدد خلاياه عن (4) خلايا دون خلايا المجموع ونستخدم القانون التالى لحساب
قيمة معامل التوافق :
 |
جـ - ا
معامل
التوافق = ـــــــ
جـ
حيث تحسب (جـ) من العلاقة :
مربع الخلية
جـ =
مجـ ــــــــــــــــــــــــ
مجموع صف الخلية × مجموع عمود
الخلية
مثال :
قام أحد الباحثين بعمل بحث عن المدخنين ومدى تأثرهم
بمشاهدة برنامج خمسة لصحتك فحصل على بيانات الجدول التالى :
|
التدخين
|
يدخن
|
لا يدخن
|
مج
|
|
مشاهدة البرنامج
|
|||
|
دائماً يشاهد البرنامج
|
62
|
116
|
178
|
|
غالباً يشاهد البرنامج
|
17
|
176
|
193
|
|
أحياناً يشاهد البرنامج
|
5
|
73
|
78
|
|
لا يشاهد البرنامج
|
3
|
20
|
23
|
|
مج
|
87
|
385
|
472
|
والمطلوب حساب قيمة معامل الارتباط بالطريقة المناسبة مع
بيان نوع هذا الارتباط ؟
الحل :
الجدول تزيد عدد خلاياه عن أربعة خلايا والمتغيران صفات
لذا نستخدم معامل التوافق :
 |
جـ - ا
معامل
التوافق = ـــــــ
جـ
حيث تحسب (جـ) من العلاقة :
مربع الخلية
جـ =
مجـ ــــــــــــــــــــــــ
مجموع صف الخلية × مجموع عمود
الخلية
(62)2 (17)2 (5)2
جـ
= ـــــــ +
ـــــــ + ـــــــ
178 × 87 193 × 87 78 × 87
(3)2 (116)2 (176)2
+ ــــــ
+ ـــــــ + ــــــــ
23 × 87 178 × 385 193 × 385
(73)2 (20)2
+ ـــــــ
+ ــــــــ
78 × 385 23 × 385
جـ
= 0.248 + 0.017 + 0.004 + 0.005 + 0.196 +
0.417 + 0.178 + 0.045 = 1.11
 |
1.11 - ا
معامل
التوافق = ــــــــ
1.11
معامل التوافق = 0.32
تحديد نوع الارتباط :
ارتباط طردي ضعيف .
4- معامل ارتباط بيرسون :
يستخدم معامل ارتباط بيرسون لحساب قيمة معامل الارتباط عندما يكون
المتغيران المراد قياس الارتباط بينهم متغيرات كمية ويشترط تساوى عدد حالات كلاً
من المتغيرين ونستخدم القانون التالى لحساب قيمة معامل ارتباط بيرسون :
ر : هو معامل ارتباط بيرسون ويحسب من العلاقة :
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
مثال :
الجدول التالى يوضح درجات مجموعة من الطلاب فى اختبار تم
إجراؤه على نفس الطلاب مرتين متتاليتين والمطلوب حساب قيمة معامل الارتباط لبيرسون
بين درجات الاختبارين ؟
|
درجة الاختبار الأول
|
3
|
5
|
9
|
8
|
2
|
|
درجة الاختبار الأول
|
4
|
6
|
7
|
4
|
3
|
الحل :
نفترض أن درجات الاختبار الأول هى "س" ودرجات
الاختبار الثانى هى "ص" ثم نكون الجدول التالى :
|
س
|
ص
|
س×ص
|
س2
|
ص2
|
|
3
|
4
|
12
|
9
|
16
|
|
5
|
6
|
30
|
25
|
36
|
|
9
|
7
|
63
|
81
|
49
|
|
8
|
4
|
32
|
64
|
16
|
|
2
|
3
|
6
|
4
|
9
|
|
27
|
24
|
143
|
183
|
126
|
حساب معامل الارتباط لبيرسون :
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
نعوض فى المعادلة السابقة :
5 × 143 – 27 × 24
ر =
] 5 × 183 – (27)2[ × ] 5 × 126 – (24)2[
ر= 0.668
تحديد نوع الارتباط :
ارتباط طردي متوسط .
5- معامل ارتباط الرتب لسبيرمان :
يستخدم معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لحساب قيمة معامل الارتباط عندما يكون
المتغيران المراد قياس الارتباط بينهم متغيرات كمية ويشترط تساوى عدد حالات كلاً
من المتغيرين أيضاً ونستخدم القانون التالى لحساب قيمة معامل ارتباط الرتب
لسبيرمان:
6 مجـ ف2
ر = 1 – ــــــــ
ن (ن2 – 1)
حيث :
ر : معامل ارتباط الرتب لسبيرمان
ف = رتب المتغير الأول – رتب المتغير الثانى
ن : عدد الحالات
مثال :
الجدول التالى يوضح درجات مجموعة من الطلاب فى اختبار تم
إجراؤه على نفس الطلاب مرتين متتاليتين والمطلوب حساب قيمة معامل ارتباط الرتب
لسبيرمان بين درجات الاختبارين ؟
|
درجة الاختبار الأول
|
3
|
5
|
9
|
8
|
2
|
|
درجة الاختبار الأول
|
4
|
6
|
7
|
4
|
3
|
الحل :
نفترض أن درجات الاختبار الأول هى "س" ودرجات
الاختبار الثانى هى "ص" ثم نكون الجدول التالى :
مع ملاحظة أنه إذا تم ترتيب قيم س تصاعدي لابد من ترتيب
قيم ص تصاعدي والعكس بالعكس .
وهنا سوف نرتب القيم تصاعدي .
مع ملاحظة أنه إذا تساوى عددان أو أكثر فى القيمة يأخذ
كل منهم متوسط ترتيبهم .
فمثلاً المتغير ص يوجد به رقمان متساويان هما (4،4)
وترتبهما (2،3) إذا يأخذ كل منهم متوسط الترتيب (2+3)/2 = 5/2 = 2.5 .
|
س
|
ص
|
رتب س
|
رتب ص
|
ف
|
ف2
|
|
3
|
4
|
2
|
2.5
|
-0.5
|
0.25
|
|
5
|
6
|
3
|
4
|
-1
|
1
|
|
9
|
7
|
5
|
5
|
0
|
0
|
|
8
|
4
|
4
|
2.5
|
1.5
|
2.25
|
|
2
|
3
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
مج
|
3.5
|
||||
حساب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان :
6 مجـ ف2
ر = 1 – ــــــــ
ن (ن2 – 1)
6 × 3.5
ر = 1 – ـــــــــ
5 (25 – 1)
21
ر = 1 – ـــــــ
5 × 24
ر = 1 – 0.175 = 0.825
تحديد نوع الارتباط :
ارتباط طردي قوى .
معنى الانحدار :
يهدف الانحدار إلى الإفادة من الارتباط فى التنبؤ ، فإذا
علمنا معامل ارتباط درجات اختبار الحساب بدرجات اختبار الجبر ، وعلمنا درجة أى
طالب فى اختبار الحساب فإننا نستطيع أن نتنبأ بدرجته فى الجبر وإذا علمنا درجة أى
طالب آخر فى اختبار الجبر فإننا نستطيع أن نتنبأ بدرجته فى الحساب .
وقد سمى هذا المفهوم الإحصائي بالانحدار لأنه ينحدر فى
تقديره الدرجات المختلفة نحو المتوسط ولذا تسمى معادلات الانحدار أحياناً بمعادلات
خطوط المتوسطات .
حساب الانحدار :
تعتمد معادلات الانحدار معاملات الارتباط وعلى
الانحرافات المعيارية وعلى المتوسطات فهى بذلك تستعين بأهم المقاييس الإحصائية فى
حسابها لهذا التنبؤ .
أولاً : معادلة خط انحدار ص/س :
تتلخص معادلة خط انحدار ص على س فى الصورة التالية :
ع ص
ص = ر
× ــــــ ( س – م س ) + م ص
ع س
حيث :
ر =
معامل ارتباط بيرسون ويحسب من العلاقة :
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
ع ص
= الانحراف المعياري لقيم ص ويحسب
من العلاقة :
 |
مجـ ح2 ص
ع ص
= ــــــــ
ن
ع س
= الانحراف المعياري لقيم س ويحسب
من العلاقة :
|
مجـ ح2 س
ع س
= ــــــــ
ن
م س = متوسط قيم المتغير س
م ص = متوسط قيم المتغير ص
مثال :
الجدول التالى يوضح درجات خمس طلاب فى اختبارين الأول س
والثانى ص والمطلوب حساب معادلة خط انحدار ص/س ثم حساب قيمة ص عندما س = 10 .
|
الأفراد
|
أ
|
ب
|
ج
|
د
|
هـ
|
|
س
|
2
|
3
|
7
|
18
|
20
|
|
ص
|
5
|
7
|
6
|
12
|
10
|
الحل :
حساب معامل ارتباط بيرسون :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
ص
|
س × ص
|
س2
|
ص2
|
|
2
|
5
|
10
|
4
|
25
|
|
3
|
7
|
21
|
9
|
49
|
|
7
|
6
|
42
|
49
|
36
|
|
18
|
12
|
216
|
324
|
144
|
|
20
|
10
|
200
|
400
|
100
|
|
50
|
40
|
489
|
786
|
354
|
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
5 × 489 – 50 × 40
ر =
] 5 × 786 – (50)2[ × ] 5 × 354 – (40)2[
ر= 0.9
حساب المتوسطات :
مجـ س 50
م س
= ــــــ = ـــــ
= 10
ن 5
مجـ ص 40
م ص
= ــــــ = ـــــ
= 8
ن 5
حساب الانحراف المعياري :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
ص
|
ح س
|
ح2 س
|
ح ص
|
ح2 ص
|
|
2
|
5
|
-8
|
64
|
-3
|
9
|
|
3
|
7
|
-7
|
49
|
-1
|
1
|
|
7
|
6
|
-3
|
9
|
-2
|
4
|
|
18
|
12
|
8
|
64
|
4
|
16
|
|
20
|
10
|
10
|
100
|
2
|
4
|
|
|
|
|
286
|
|
34
|
 |
مجـ ح2 س 286
ع س
= ــــــــ =
ـــــ = 7.56
ن 5
 |
|||
 |
|||
مجـ ح2 ص 34
ع ص
= ــــــــ =
ـــــ = 2.61
ن 5
حساب معادلة خط انحدار ص/س :
ع ص
ص = ر
× ـــــ ( س – م س ) + م ص
ع س
2.61
ص =
0.9 × ـــــ ( س – 10 ) + 8
7.56
ص =
0.31 (س – 10 ) + 8
ص =
0.31 س – 3.1 + 8
معادلة
خط انحدار ص/س هى
 |
عندما
س = 10 نستطيع التنبؤ بقيمة ص كالتالى :
ص =
0.31 × 10 + 4.9 = 8
ثانياً : معادلة خط انحدار س/ص :
تتلخص معادلة خط انحدار س على ص فى الصورة التالية :
ع س
س = ر × ـــــ (
ص – م ص ) + م س
ع ص
حيث :
ر =
معامل ارتباط بيرسون ويحسب من العلاقة :
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
ع ص
= الانحراف المعياري لقيم ص ويحسب
من العلاقة
|
مجـ ح2 ص
ع ص
= ــــــــ
ن
ع س
= الانحراف المعياري لقيم س ويحسب
من العلاقة
|
مجـ ح2 س
ع س
= ــــــــ
ن
م س = متوسط قيم المتغير س
م ص = متوسط قيم المتغير ص
مثال :
الجدول التالى يوضح درجات خمس طلاب فى اختبارين الأول س
والثانى ص والمطلوب حساب معادلة خط انحدار س/ص ثم حساب قيمة س عندما س = 8 .
|
الأفراد
|
أ
|
ب
|
ج
|
د
|
هـ
|
|
س
|
2
|
3
|
7
|
18
|
20
|
|
ص
|
5
|
7
|
6
|
12
|
10
|
الحل :
حساب معامل ارتباط بيرسون :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
ص
|
س × ص
|
س2
|
ص2
|
|
2
|
5
|
10
|
4
|
25
|
|
3
|
7
|
21
|
9
|
49
|
|
7
|
6
|
42
|
49
|
36
|
|
18
|
12
|
216
|
324
|
144
|
|
20
|
10
|
200
|
400
|
100
|
|
50
|
40
|
489
|
786
|
354
|
ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص
ر =
] ن مجـ س2 – (مجـ س)2[ × ] ن مجـ ص2 – (مجـ ص)2[
5 × 489 – 50 × 40
ر =
] 5 × 786 – (50)2[ × ] 5 × 354 – (40)2[
ر= 0.9
حساب المتوسطات :
مجـ س 50
م س
= ــــــ = ـــــ
= 10
ن 5
مجـ ص 40
م ص
= ــــــ = ـــــ
= 8
ن 5
حساب الانحراف المعياري :
نكون الجدول التالى :
|
س
|
ص
|
ح س
|
ح2 س
|
ح ص
|
ح2 ص
|
|
2
|
5
|
-8
|
64
|
-3
|
9
|
|
3
|
7
|
-7
|
49
|
-1
|
1
|
|
7
|
6
|
-3
|
9
|
-2
|
4
|
|
18
|
12
|
8
|
64
|
4
|
16
|
|
20
|
10
|
10
|
100
|
2
|
4
|
|
|
|
|
286
|
|
34
|
مجـ ح2 س 286
ع س
= ــــــــ =
ـــــ = 7.56
ن 5
|
|
مجـ ح2 ص 34
ع ص
= ــــــــ =
ـــــ = 2.61
ن 5
حساب معادلة خط انحدار س/ص :
ع س
س = ر
× ـــــ ( ص – م ص ) + م س
ع ص
7.56
س =
0.9 × ـــــ ( ص – 8 ) + 10
2.61
س =
2.6 (ص – 8 ) + 10
س =
2.6 س – 20.8 + 10
معادلة
خط انحدار س/ص هى
 |
عندما
ص = 8 نستطيع التنبؤ بقيمة س كالتالى :
س =
2.6 × 8 – 10.8 = 10
